W 1640 roku Pierre de Fermat napisał do swojego przyjaciela Bernarda Frénicle'a:
Jestem przekonany, że 22n + 1 jest zawsze liczbą pierwszą. Nie mam na to pełnego dowodu, ale wykluczyłem tak wielką liczbą podzielników z pomocą dowodów nie do obalenia, i tak wielkie światło przyświeca mej myśli, że z trudem mógłbym odrzucić tę hipotezę.Liczby tej postaci nazwano dla upamiętnienia Fermata, który pierwszy badał ich własności.
Fermat wysnuł takie przypuszczenie: Dla każdego m liczba Fm = 2 2 m + 1 jest pierwsza
Fermat policzył (i udowodnił):
m = 0, F0 = 2 2 0 + 1 = 2 1 + 1 = 3 - pierwsza
m = 1, F1 = 2 2 1 + 1 = 2 2 + 1 = 5 - pierwsza
m = 2, F2 = 2 2 2 + 1 = 2 4 + 1 = 17 - pierwsza
m = 3, F3 = 2 2 3 + 1 = 2 8 + 1 = 257 - pierwsza
m = 4, F4 = 2 2 4 + 1 = 2 16 + 1 = 65537 - pierwsza
*m = 5, F5 = 2 2 5 + 1 = 2 32 + 1 = 4294967297
*W 1732 roku Leonhard Euler wykazał, że każdy dzielnik liczby Fn, dla n większego od jedności musi mieć postać k · 2n+2+ 1. Odkrył w ten sposób, że piąta liczba 225 + 1 czyli 232 + 1 = 4294967297 jest podzielna przez 641, nie jest więc liczbą pierwszą.
Ponieważ liczby Fn rosną bardzo szybko,badanie ich pierwszości jest pracochłonne wraz ze wzrostem n.
Niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss udowodnił, że jeśli p jest liczbą pierwszą Fermata, to za pomocą cyrkla i linijki można skonstruować p-kąt foremny, stosując się do reguł Euklidesa. Ogólnie można zbudować każdy 2kpqr...-kąt, gdzie p, q, r, ... są różnymi liczbami pierwszymi Fermata.
Lecz do czego służą liczby Fermata?
m.in Do wyznaczania NWW dla liczb całkowitych, co jest przydatne do wyznaczania
wspólnego mianownika kilku ułamków. Każdą liczbę złożoną można jednoznacznie
przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych, np. 204=2*2*3*17 510=2*3*5*17
NWW(204;510)= 2*2*3*5*17=1020
NWW - najmniejsza wspólna wielokrotność.
Jednak ciekawsze zastosowanie mają one w tzw. Kryptografii.
Kryptografii używało się w kodowaniu telewizji analogowej. Jednym z systemów kodowania był Syster używany na przykład przez stację telewizyjną Canal+. Więcej o tym systemie kodowania oraz innych metodach szyfrowania dowiecie się na tej stronie.
Za jej pomocą można zakodować obraz
lub cały film
Bibliografia:
https://www.liczbypierwsze.com/#ch9
http://mobius.ms.polsl.pl/Witold.Tomaszewski/Fermat.pdf
http://www.math.edu.pl/liczby-fermata
